Schwarzschildův poloměr: jak spočítat velikost černé díry

Schwarzschildův poloměr říká, jak velký by byl horizont černé díry s danou hmotností v jednoduchém nerotujícím modelu. Pro hmotnost Země vychází jen 8,87 milimetru, pro hmotnost Slunce přibližně 2,95 kilometru. K výpočtu stačí jediný vzorec. Nejvíc chyb přitom nevzniká v násobení, ale v tom, zda počítáme poloměr, nebo průměr a v jakých jednotkách dosazujeme.

Co je Schwarzschildův poloměr?

Schwarzschildův poloměr je poloměr horizontu událostí nerotující, elektricky nenabité černé díry. Horizont označuje hranici, ze které už světlo nemůže uniknout k vzdálenému pozorovateli. Není to pevná slupka ani povrch podobný povrchu planety. Když tedy v tomto článku počítáme velikost černé díry, myslíme právě její modelový horizont.

Stejný výpočet můžeme provést pro hmotnost běžného tělesa. Výsledek ovšem neznamená, že Země uvnitř sebe skrývá malou černou díru. Určuje, jaký horizont by odpovídal černé díře o stejné hmotnosti. Skutečná planeta je mnohem rozlehlejší. U Slunce jde rovněž o myšlenkový experiment, nikoli o předpověď jeho konce.

Schwarzschildův poloměr: vzorec a jednotky

• rₛ je Schwarzschildův poloměr. Dolní index s jen označuje název veličiny, není to další číslo k násobení.
• M je hmotnost v kilogramech. G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² je gravitační konstanta.
• c = 299 792 458 m/s je rychlost světla ve vakuu. Zápis c² znamená, že tuto rychlost umocníme na druhou.

Praktická kontrola před výpočtem: nemíchejte kilogramy s tunami ani metry s kilometry. Pokud ponecháte G v uvedené podobě, musí být rychlost světla v metrech za sekundu. Dosadit místo ní přibližně 300 000 km/s bez změny ostatních jednotek by byla chyba. Protože se c umocňuje, chyba v převodu rychlosti se projeví ve výsledku ještě výrazněji.

Ve vzorci se při změně objektu mění pouze hmotnost M. Proto dvojnásobná hmotnost znamená dvojnásobný poloměr. Nejde o druhou odmocninu ani třetí mocninu. Tato jednoduchá úměrnost umožňuje přejít od hvězdné černé díry k obřímu objektu v jádru galaxie bez nového typu výpočtu. Pořád však používáme stejné zjednodušení.

Výpočet krok za krokem: černá díra o hmotnosti Slunce

Pro názorné dosazení vezměme zaokrouhlenou hmotnost Slunce M ≈ 1,9885 × 10³⁰ kg. Zápis s mocninou deseti jen šetří dlouhou řadu nul. V běžné vědecké kalkulačce lze stejné číslo zapsat jako 1.9885e30. Nejprve připravíme čitatel a jmenovatel odděleně, aby bylo jasné, co se čím dělí.

1. Dosazení: v čitateli násobíme 2 × 6,67430 × 10⁻¹¹ × 1,9885 × 10³⁰. Přibližný výsledek je 2,6543 × 10²⁰.
2. Jmenovatel: rychlost 299 792 458 m/s umocníme na druhou. Číselně dostaneme přibližně 8,9876 × 10¹⁶.
3. Dělení: čitatel vydělíme jmenovatelem. Schwarzschildův poloměr vyjde přibližně 2 953 metrů.
4. Převod: metry vydělíme tisícem. Dostáváme přibližně 2,95 kilometru poloměru, průměr je přibližně 5,91 kilometru.

Ve výsledkové tabulce používáme přesnější gravitační parametr GM z JPL, tedy přímo součin gravitační konstanty a hmotnosti. Ten lze dosadit do stejného vzorce bez mezikroku přes zaokrouhlenou hmotnost v kilogramech. Zaokrouhlujeme až konečné hodnoty, nikoli každý krok zvlášť. Proto není vhodné zdvojnásobit už zaokrouhlených 2,95 km a z toho odvozovat poslední desetinné místo průměru. Při zadávání celého zlomku do kalkulačky uzavřete čitatel i jmenovatel do závorek. Zvlášť u zápisu s mocninami deseti tak uvidíte, že dělíte celý součin druhou mocninou rychlosti, a ne pouze jeho poslední část.

Poloměr versus průměr: kde vzniká chyba o polovinu

Poloměr v jednoduchém kruhovém schématu vede od středu k okraji. Průměr prochází středem od jednoho okraje k druhému a je dvakrát delší. Při porovnávání rozměrů proto vždy napište, kterou veličinu uvádíte. Samotné tvrzení „černá díra měří tři kilometry“ je neúplné. Pro hmotnost Slunce může přibližně sedět jako poloměr, ale ne jako průměr.

Na schématu mají oba kruhy stejnou velikost. Vlevo je vyznačen poloměr r, vpravo průměr 2r. Obrázek vysvětluje pouze vztah dvou délek. Není to snímek horizontu ani mapa vnitřku černé díry. Při čtení následující tabulky se držte stejného rozlišení mezi sloupcem poloměru a sloupcem průměru.

Jaký je Schwarzschildův poloměr Země a Slunce?

Pro hmotnost Země vychází Schwarzschildův poloměr přibližně 8,87 mm a průměr horizontu 17,7 mm, tedy 1,77 cm. Představa malé skleněnky se proto vztahuje k celému průměru. Uvést 8,87 mm jako šířku celé černé díry by znamenalo zaměnit dvě různé veličiny.

Výpočet pro Zemi se od slunečního příkladu liší vstupní hmotností. Z parametrů JPL dostaneme poloměr přibližně 0,00887 metru. Násobení tisícem převede metry na milimetry. Průměr vznikne zdvojnásobením nezaokrouhleného poloměru, ne novým fyzikálním vzorcem. Všechny tři řádky tabulky tak můžete ověřit stejným postupem.

Tyto hodnoty nejsou rozměry dnešní Země a Slunce. Popisují hypotetické černé díry se stejnými hmotnostmi. Slunce samo nemá pro přirozený vznik černé díry dostatečnou hmotnost a jeho závěrečným zbytkem bude bílý trpaslík. Vypočítat Schwarzschildův poloměr tedy není totéž jako doložit, že se konkrétní objekt jednou zhroutí.

Rychlý výpočet z hmotnosti v násobcích Slunce

Pokud má modelová černá díra deset hmotností Slunce, poměr M/M☉ je prostě 10. Násobíme tedy přibližně 2,95325 × 10 a dostaneme 29,5 km poloměru. Pro průměr vyjde 59,1 km. Zlomek v závorce je bez jednotky, takže výsledku zůstávají kilometry. Tato zkratka je pohodlná právě proto, že nemusíme převádět sluneční hmotnosti na kilogramy.

Schwarzschildův poloměr TON 618: záleží na odhadu hmotnosti

Pro TON 618 uvádí NASA 66 miliard hmotností Slunce. V tabulce práce Ge a spoluautorů z roku 2019 najdeme logaritmický údaj 10,610, který odpovídá přibližně 40,7 miliardy Sluncí. Pro praktický výpočet ukážeme obě varianty. Nejsou to potvrzené hranice jednoho intervalu, ale dva publikované hmotnostní odhady.

Tabulka ukazuje dva vlivy, které je dobré oddělit. Jiný vstupní odhad hmotnosti změní vypočtenou velikost. Záměna poloměru a průměru pak přidá další faktor dva. Pokud tedy někde narazíte na 195 a jinde na 390 miliard kilometrů, nemusí si autoři odporovat. Mohou používat stejnou hmotnost, ale mluvit o jiné délce.

Proč se odhady hmotnosti liší, rozebírá podrobnější článek o TON 618. Zde výsledky používáme jako ukázku převodu hmotnosti na modelový horizont. Více desetinných míst ve výsledku by nezpřesnilo samotné astronomické měření. Přesná aritmetika a přesnost vstupních dat jsou dvě různé věci.

Stejné rozlišení pomůže i při čtení přehledu největších známých černých děr. Smysluplně porovnáváme hmotnosti mezi sebou a modelové průměry mezi sebou. Rozměr zářícího okolí není vhodné vložit do stejného sloupce jako průměr horizontu.

Proč ze snímku černé díry neodečteme přímo její poloměr?

Slavný obraz M87* zobrazuje záření horkého okolního plynu a tmavou centrální oblast označovanou jako stín. Vznikl rekonstrukcí radiových pozorování sítě Event Horizon Telescope z roku 2017 a byl zveřejněn v dubnu 2019. Jde o skutečná pozorovací data, ne o běžnou fotografii ve viditelném světle.

Stín je větší než horizont. Do pozorovaného obrazu zasahuje ohyb a zachycování světla, takže jasný prstenec není obrysem, na který bychom mohli jednoduše přiložit pravítko. Pro interpretaci snímku je nutný fyzikální model. Náš výpočet postupuje opačně: vezme zadanou hmotnost a spočítá jí odpovídající Schwarzschildův poloměr.

Kdy jednoduchý vzorec nestačí

Schwarzschildův vztah je přesný pro svůj model, nikoli univerzální popis každé skutečné černé díry. Nezahrnuje rotaci ani elektrický náboj. U rotující nenabité černé díry se používá Kerrův popis, ve kterém vedle hmotnosti vstupuje také moment hybnosti. Zde proto všechny příklady označujeme jako nerotující modelové horizonty.

Při práci s čísly si hlídejte tři otázky: jakou hmotnost dosazujete, zda výsledkem má být poloměr nebo průměr a zda porovnáváte stejný typ rozměru. Tyto kontroly mají větší cenu než dlouhá řada číslic za desetinnou čárkou. Kalkulačka usnadní aritmetiku, ale význam vstupu a výsledku za čtenáře rozhodnout nemůže.

Časté otázky ke Schwarzschildovu poloměru