Dilatace času: proč čas plyne jinak v pohybu a gravitaci

Dilatace času znamená, že dvě hodiny za různých podmínek nemusejí odměřit stejnou dobu. Rozdíl vzniká při vzájemném pohybu i působením gravitace. Není to pocit, že dovolená utekla rychleji než pracovní týden. Jde o rozdíl, který ukážou skutečné přístroje a který musí zohledňovat také družicová navigace. Jak ale může být jedna sekunda pro každého normální, a přesto se hodiny nakonec rozejdou?

Co je dilatace času a vůči komu se čas zpomaluje?

Hodinky na vašem zápěstí měří váš vlastní čas. Když ukážou, že uplynula minuta, prožili jste minutu i vy. Relativita tento místní údaj nijak nezpochybňuje. Říká ale, že stejné množství času nemusejí nasčítat hodiny, které se vydaly jinou cestou prostorem a časem. Nejčistší srovnání nastane, když se dvoje hodiny nejprve setkají, potom rozdělí a nakonec znovu ocitnou vedle sebe.

Proto samotná věta „čas běží pomaleji“ nestačí. Je potřeba dodat, které hodiny porovnáváme a jak se pohybují. U rovnoměrně letící lodi popisujeme výsledek z vybrané inerciální soustavy, tedy soustavy bez zrychlování. V gravitačním poli zase musíme znát polohy hodin. Zpomalení není vlastnost jedné osamocené sekundy, kterou bychom dokázali prozkoumat bez jakéhokoli srovnání.

Proč se čas při vysoké rychlosti zpomaluje?

Představte si hodiny tvořené dvěma zrcadly. Mezi nimi se odráží světelný pulz a jeden jeho návrat znamená jedno tiknutí. Pro člověka v lodi světlo cestuje kolmo mezi zrcadly. Pozorovatel, vůči němuž se loď pohybuje do strany, popíše dráhu stejného pulzu jako šikmou. Než světlo dorazí k druhému zrcadlu, loď se totiž posune.

Šikmá dráha je delší, ale rychlost světla ve vakuu zůstává pro oba inerciální pozorovatele stejná. Delší cesta proto v soustavě vnějšího pozorovatele zabere více času. Pohybující se světelné hodiny v ní tikají pomaleji. Stejně se musejí chovat i ostatní hodiny na palubě. Cestující nemůže poznat rovnoměrný pohyb tím, že by porovnal různé vlastní hodiny a našel mezi nimi novou neshodu.

Dilatace času: vzorec a příklad s deseti lety

Pro rovnoměrný pohyb bez započtení gravitace použijeme vztah Δτ = Δt × √(1 − v²/c²). Symbol Δτ označuje dobu na pohybujících se hodinách, Δt dobu v soustavě, vůči níž se pohybují, v jejich rychlost a c rychlost světla. Tentýž vztah se často zapisuje pomocí Lorentzova faktoru γ = 1/√(1 − v²/c²), takže Δt = γ × Δτ.

Vezměme deset let v idealizované soustavě Země a rychlost lodi 80 % rychlosti světla, tedy v = 0,8c. Pod odmocninou dostaneme 1 − 0,64 = 0,36. Odmocnina je 0,6, takže na palubě uplyne desetkrát 0,6, tedy šest let. Nejde o šest let podle dojmu posádky, ale o šest let na palubních hodinách. Stejným postupem vychází následující tabulka.

Čísla jsme dopočítali z uvedeného vzorce a zaokrouhlili na dvě desetinná místa. Tabulka popisuje úsek s konstantní rychlostí, nikoli hotový plán expedice. Nezahrnuje rozjezd, brzdění ani gravitaci. Pokud byste chtěli dobu celé reálné cesty, museli byste sečíst příspěvky všech jejích částí. Čas při dlouhém pomalém rozjezdu nelze automaticky počítat, jako by už loď celou dobu letěla nejvyšší rychlostí.

Paradox dvojčat: proč se cestovatel vrátí mladší?

Právě návrat přidává známý paradox dvojčat. Jedno dvojče zůstane na Zemi, druhé odletí a vrátí se. Při rovnoměrném vzájemném pohybu přitom může každý pozorovatel přisoudit pomalejší chod hodin tomu druhému. Jak potom rozhodnout, kdo bude při setkání mladší? V běžném uspořádání nejsou obě cesty symetrické. Cestovatel se musí obrátit a změnit svou inerciální soustavu.

V našem idealizovaném příkladu poletí loď pět pozemských let rychlostí 0,8c ven a dalších pět stejnou rychlostí zpět. Zanedbáme-li dobu zrychlování i gravitační vlivy, na Zemi uplyne deset let a cestující zestárne o šest. Místo obratu leží v této soustavě čtyři světelné roky od Země. Není to let k Měsíci ani k blízké planetě. Světelný rok totiž vyjadřuje vzdálenost, kterou světlo urazí za rok.

Zrychlení tu není kouzelný zásah, který by při otočce náhle odebral čtyři roky života. Rozdíl se nasčítá podél celých drah obou dvojčat. Otočka pomáhá rozpoznat, proč nelze použít vzájemnou symetrii rovnoměrného pohybu na celou cestu tam i zpět. Při setkání už nejde o odlišné názory na vzdálené hodiny. Oba mohou přímo porovnat záznamy přístrojů vedle sebe.

Gravitační dilatace času: proč výš položené hodiny předbíhají?

Druhý příspěvek souvisí s gravitací. Pro hodiny nehybné vůči povrchu Země platí, že ve vyšší poloze tikají o nepatrný kousek rychleji než níže. Přesněji rozhoduje rozdíl gravitačního potenciálu. Pro představu si můžeme pomoci výškovou mapou: důležitá je poloha v gravitační krajině, ne pouze místní údaj o tom, jak silně vás něco táhne dolů.

Rozdíl existuje i v obyčejné budově. Nepoznáte ho podle únavy ani délky pracovního dne. V roce 2010 vědci v NIST porovnali dvoje atomové hodiny, z nichž jedny zvedli o 33 centimetrů. Výše položené hodiny skutečně běžely rychleji. Stejná práce zkoumala i nepatrné zpomalení spojené s pohybem iontu v hodinách. Relativita tedy nepotřebuje hvězdnou loď, jen dostatečně přesné měření.

Jak víme, že dilatace času není jen teorie?

V experimentu oznámeném v roce 2022 šel tým JILA ještě dál. Porovnával frekvence v horní a dolní části jediného milimetrového vzorku ultrachladných atomů stroncia. Nešlo o dvoje náramkové hodinky položené těsně nad sebe. Oblasti téhož atomového souboru poskytly časové reference, mezi nimiž se podařilo rozlišit gravitační posuv. Přiložená fotografie ukazuje skutečnou aparaturu tohoto experimentu.

Smyslem podobného měření není dokázat, že máme ráno odcházet z přízemí o něco dříve. Přesné hodiny dovolují zkoumat malé rozdíly gravitačních podmínek a testovat fyzikální popis světa. Z běžného předmětu, který nám pomáhá přijít včas na vlak, se v laboratoři stává citlivý měřicí přístroj. Velikost efektu přitom musíme vždy odlišovat od schopnosti jej zachytit.

Dilatace času v GPS: dva vlivy proti sobě

Družice GPS ukazují, proč nestačí pravidlo „ve vesmíru jde čas pomaleji“. Jejich rychlost by způsobovala zpoždění palubních hodin přibližně o 7 mikrosekund za den vůči hodinám na Zemi. Vyšší poloha v zemském gravitačním poli naopak přidává asi 45 mikrosekund za den. Součet je přibližně plus 38 mikrosekund: bez příslušné korekce by družicové hodiny předbíhaly. Mikrosekunda je miliontina sekundy.

Navigace zjišťuje vzdálenosti podle toho, jak dlouho putoval rádiový signál. Špatný čas se proto promítne do špatně odvozené vzdálenosti. Přijímač současně řeší i nepřesnost vlastních hodin, takže výsledek není prosté přičtení jedné chyby k šipce na mapě. Správná souhra časových údajů je ale základ. ESA popisuje jak úpravu frekvence družicových hodin, tak další korekci související s výstředností jejich dráhy.

Jak plyne čas u černé díry?

U černé díry může být rozdíl časů mnohem výraznější. Musíme však určit, zda pozorovatel stojí na pevném místě, obíhá, nebo padá. Pro nehybné hodiny vně nerotující, elektricky nenabité černé díry existuje jednoduchý vztah k hodinám velmi daleko od ní: Δτ = Δt × √(1 − rₛ/r). Zde rₛ označuje poloměr horizontu a r radiální souřadnici daného místa, měřenou od středu.

Když dosadíme r = 4rₛ/3, odmocnina vyjde 1/2. Jedné hodině na těchto nehybných hodinách odpovídají dvě hodiny v dalekém okolí. Je to modelové porovnání, nikoli návod na bezpečné parkování. Setrvání nad horizontem by vyžadovalo tah motorů. Výsledek nezahrnuje cestu tam a zpět a nelze jej bez úprav přenést na obíhající planetu nebo rotující černou díru.

Samotné jméno obří černé díry ještě neurčuje poměr časů. Článek o velikosti a hmotnosti TON 618 ukazuje, jak se z hmotnosti odvozuje rozměr horizontu. Pro časové srovnání potřebujeme navíc polohu a pohyb pozorovatele. Ve zde použitém modelu dává stejný poměr r/rₛ stejný poměr časů i u různě hmotných černých děr. Ostatní podmínky pobytu tím ale stejné nejsou.

Zastaví se na horizontu čas?

Věta „na horizontu se zastaví čas“ bez dalšího vysvětlení zavádí. Je nutné odlišit obraz padajícího tělesa pro vzdáleného pozorovatele od toho, co ukazují hodiny samotného cestujícího. NASA upozorňuje, že z dálky se jeho přibližování k horizontu jeví stále pomalejší. Cestující tím ovšem nepřestane prožívat svůj vlastní čas. Horizont je hranice možnosti poslat signál ven, nikoli místo, kde by se v jeho kabině zastavily všechny děje.

Stejně tak nesmíme dosadit poloměr horizontu do vzorce pro nehybné hodiny a výsledek vydávat za popis člověka, který na něm pohodlně čeká. Takový nehybný pozorovatel na horizontu není přípustným pokračováním modelu. Při čtení dramatických příkladů proto vždy hledejte, čí hodiny autor porovnává a za jakých podmínek. Právě tato drobná otázka často oddělí správnou fyziku od působivé, ale nepřesné zkratky.

Časté otázky o dilataci času