Dilatace času u černé díry

Co je dilatace času?

Dilatace času znamená, že dvě hodiny za různých podmínek nemusí odměřit stejnou dobu. Rozdíl může souviset s pohybem nebo s gravitací. Tato kalkulačka ukazuje gravitační dilataci času u černé díry: porovnává pevnou polohu v její blízkosti s místem velmi daleko od ní.

Nejde o pocit, že se vleče dlouhé odpoledne. Porovnáváme skutečně uplynulý čas. Člověk u svých hodin žádné zpomalení vlastního života nepociťuje.

Jedna hodina u černé díry, dvě hodiny daleko od ní

Vyberte předvolbu Dvojnásobný čas a ponechte pobyt jednu hodinu. Kalkulačka umístí pozorovatele do odstupu jedné třetiny poloměru nad horizontem. Jeho hodiny odměří hodinu, vzdálené hodiny dvě. Zkuste pobyt změnit na jeden den: poměr zůstane stejný.

Předvolba Blízko horizontu odpovídá odstupu 1 % poloměru nad horizontem. Poměr časů je přibližně 10,05 : 1. Nákres pomáhá s orientací, ale používá nelineární měřítko, aby šly zobrazit blízké i vzdálené polohy.

Gravitační dilatace času: vzorec a výpočet

Výpočet používá Schwarzschildův model nerotující, elektricky nenabité černé díry. Vztah pro nehybné hodiny uvádějí přednášky obecné relativity MIT, oddíl 6.2.2.

Zobrazit vzorec a význam veličin

t_daleko = t_{u díry} / √(1 − rₛ / r)

Poloměr horizontu: rₛ = 2GM / c²

t_{u díry} je čas na hodinách člověka u černé díry.
t_daleko je odpovídající čas na vzdálených hodinách.
r je radiální souřadnice od středu a rₛ poloměr horizontu; musí platit r > rₛ.
h = r − rₛ je zadaný odstup nad horizontem. Pro výpočet dosadíme r = rₛ + h.
M je hmotnost, G gravitační konstanta a c rychlost světla.

Vzdálenost r není délka odměřená pravítkem od horizontu. Jde o takzvaný plošný poloměr: koule na této souřadnici má plochu 4πr². Rok ve výpočtu znamená 365,25 dne. Výsledky zaokrouhlujeme až při zobrazení.

Horizont událostí a hranice kalkulačky

Horizont je hranice, ze které už světlo nemůže uniknout ven. Jeho velikost pro různé hmotnosti můžete prozkoumat v kalkulačce velikosti černé díry. Základní vlastnosti shrnuje také NASA: černé díry.

Tady modelujeme setrvání na pevném místě, které by vyžadovalo tah motorů. Nejde o simulaci pádu, oběžné dráhy ani návod na bezpečný pobyt. Výpočet nezahrnuje rotaci, slapové síly ani dobu cesty k díře a zpět. Na horizontu už tento způsob porovnání pevných pozorovatelů použít nelze.

Jak se liší od stárnutí při cestě vesmírem?

U rychlé lodi porovnáváme čas cestovatele s časem v soustavě Země a cíle. V kalkulačce cesty vesmírem si můžete vybrat cíl a zjistit dobu letu i čas na palubě. Tady měníte gravitační podmínky, proto se zadává poloha u černé díry.

Zdroje

MIT: General Relativity — Schwarzschildův model a čas nehybného pozorovatele.
Einstein Online: Schwarzschild black hole — význam použitého modelu.
JPL: Astrodynamic Parameters — sluneční gravitační parametr pro převod hmotnosti na poloměr.

Časté otázky o dilataci času

Proč u černé díry plyne čas pomaleji?

Gravitace ovlivňuje porovnání hodin na různých místech. Hodiny držené blíže černé díře odměří mezi porovnávanými okamžiky méně času než hodiny daleko od ní. Pro člověka u černé díry přesto jeho vlastní sekunda trvá normálně.

Kolik času uplyne daleko od černé díry, když u ní strávím hodinu?

Záleží na vaší poloze. V úvodním příkladu je odstup nad horizontem třetina jeho poloměru. Za jednu vaši hodinu uplynou daleko od černé díry dvě hodiny. Příklad předpokládá, že zůstáváte na pevném místě.

Jak vzdálenost od horizontu ovlivňuje čas?

Čím blíže horizontu se držíte, tím větší je rozdíl oproti vzdáleným hodinám. Číslem i posuvníkem nastavujete odstup nad horizontem v kilometrech. Nula označuje horizont a zobrazí vysvětlení mezního stavu.

Jak hmotnost černé díry ovlivňuje výsledek?

Při stejném odstupu nad horizontem v kilometrech znamená větší hmotnost větší rozdíl mezi hodinami. Kalkulačka při změně hmotnosti tento odstup zachovává. Při stejném poměru polohy k poloměru horizontu by naopak poměr časů na hmotnosti nezávisel.

Co znamená uplynulý čas na Zemi?

Představujeme si, že Země leží daleko od naší modelové černé díry. Její hodiny tak zastupují vzdáleného pozorovatele. Pro jednoduchost zanedbáváme vlastní gravitaci Země a vzájemný pohyb; nejde o přesný výpočet pro konkrétní černou díru a skutečnou Zemi.

Mohu se zastavit přímo na horizontu událostí?

Ne. Tento model platí jen vně horizontu. Udržet pevnou polohu stále blíž horizontu vyžaduje stále větší zrychlení; přímo na něm takový pozorovatel nemůže zůstat. Pro nulový odstup kalkulačka zobrazí vysvětlení místo doby pobytu. Vlastní čas padajícího pozorovatele se na horizontu nezastaví. Záporný odstup nelze zadat.